Les Surfaces Développables

Pourquoi ?

La maîtrise des surfaces dévelopables est importante pour le constructeur amateur, car les matériaux utilisés sont le plus souvent présentés sous forme de plaques, comme le contreplaqué, l’acier ou l’aluminium.

Avantages

Les surfaces développables peuvent être mises en forme à partir de planches planes sans aucun étirement, donc les forces nécéssaires sont bien moindres que pour des surfaces non développables. Dans certains cas, en particulier avec du contreplaqué, les forces internes nécéssaires pour conformer le matériau à une forme non développable peuvent l’endommager.

Un autre avantage des surfaces développables est que leur développement est exact. Quand d’autres types de surfaces sont développées, la forme du développement dépend des distortions qui lui sont appliquées, et donc il n’y a pas une seule forme développée exacte sans information de mise en forme.

Si vous dessinez ou construisez des coques en contreplaqué ou en métal, vous devriez comprendre les méthodes utilisées pour travailler avec les surfaces développables.

Qu’est ce ?

Une surface développable est définie mathématiquement comme étant une surface ayant une courbure de Gauss nulle, ce qui signifie que le produit de la plus grande courbure par la plus petite doit être égal à zero : au moins l’une des « courbures principales » doit être nulle. La surface doit donc contenir des lignes droites, appelées génératrices, qui doivent couper les génératrices infiniment voisines, éventuellement à l’infini. Ceci veut dire que toute partie d’une surface developpable doit être une partie d’un cône ou d’un cylindre. Dit autrement, les génératrices doivent représenter la plus petite courbure de la surface.

Expérience

Une expérience simple permet de mieux comprendre ceci. Etirez trois ou quatres élastiques entre deux crayons tenus horizontalement. Les élastiques et les crayons sont rectilignes, et forment un plan. Si vous pivotez les crayons de telle manière qu’une pointe est plus haute que l’autre, les crayons et les élastiques sont toujours rectilignes, mais les élastiques près des extrémités des crayons ont étés étirés. Malgré le fait que la surface contient beacoup de lignes droites, elle est impossible a former sans étirer le matériau qui la constitue.

fig1

Explication

Ceci se passe parce que la plus grande courbure va du point le plus haut d’un des crayons au point le plus haut de l’autre. Mais la courbe qui va du point le plus bas d’un crayon au point bas de l’autre est inversée par rapport à la première, on peut donc lui attribuer un signe négatif. Voici donc la plus petite courbure de notre surface. Quand les deux courbures sont multipliées, on obtient une courbure de Gauss négative, et non pas nulle.

Conclusion

C’est une différence importante, qui cause parfois des problèmes aux concepteurs et aux constructeurs. Une surface contenant des lignes droites n’est pas nécessairement développable : Les génératrices doivent être la plus petite courbure. Un des problèmes les plus communs pour les constructeurs est une coque avec des membrures rectilignes mais non parallèles. Ces formes ne sont pas toujours développables. Elles seront difficiles à border en métal, et si le matériau utilisé est le contreplaqué, le cisaillement induit dans le matériau peut endommager les plis intérieurs du contreplaqué et donc causer une rupture précoce du bordé. Le contreplaqué est toutefois assez souple et permet de « passer » de légères courbures complexes. Ces surfaces ont souvent une courbure de Gauss négative, comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent.

Voici deux liens intéressants à propos des surfaces développables.

Les mathématiques des surfaces développables
Les surfaces développables dans Navaldesigner

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